Question

【题目】已知二次函数，，恒有. 数列满足，且N*.

（1）求的解析式；

（2）证明：数列单调递增；

（3）记. 若，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）利用得到的关系式，利用恒成立，列不等式，由此求得的值，进而求得函数解析式.

（2）利用差比较法，结合（1）的结论，证得，由此证得数列单调递增.

（3）首先判断，然后证得数列是等比数列，并求得其首项和公比，进而求得其前项和的表达式，利用对数式化为指数式，求得的值.

（1）由得，即；

因为恒成立，即恒成立，

即恒成立，从而，所以；

所以表达式为；

（2）由于，

又因为N*，

所以，因此，所以数列单调递增；

（3）因为，

所以，即，

所以数列是等比数列，其首项，公比，其前项和为，即，所以.