Question

如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，ADC=60°，AF=

3

．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证线线垂直，只需要证明线面垂直，即证AC⊥平面ABF，再利用线面垂直的判定，即可证得；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD的一个法向量、平面FBD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F-BD-A的余弦值．

解答：（1）证明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，
∴AC²=1+4-2×1×2×cos60°=3
∴AC=

3

，
又∵AB=1，BC=2
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴AC⊥AB
又AF⊥AC，AB∩AF=A
∴AC⊥平面ABF，
又∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF；
（2）解：建立如图所示的坐标系，则C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，

3

，0），F（0，

3

，

3

），B（-1，

3

，0）
平面ABD的一个法向量

n

=（0，0，1），
设平面FBD的法向量为

m

=（x，y，z）
∵

DF

=(-1，

3

，

3

)，

DB

=(-2，

3

，0)，
由

m • DB =0 m • DF =0

，可得

-2x+ 3 y=0 -x+ 3 y+ 3 z=0

令z=1，得

m

=（-

3

，-2，1）为平面FBD的一个法向量．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

4

故所求二面角F-BD-A的余弦值为

2

4

．

点评：本题重点考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．