Question

已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若α，β，γ∈[0，

4π

3

]，求sin（α+β+γ）的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，代入，（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=1，求得2+2cos（α-β）=1，进而求得cos（α-β）的值．
（2）根据（1）可求得cos（β-γ）的值，和cos（α-γ）的值，设

4π

3

≥α＞β＞γ≥0，进而可知α-γ，α-β，β-γ的值假设γ＞0，则可知α=

4π

3

+γ＞

4π

3

不符合题意，进而推断γ=0则α，β可求，进而求得sin（α+β+γ）．

解答：解：（1）sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，
（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=1，2+2cos（α-β）=1，
∴cos(α-β)=-

1

2

．

（2）由（1）同理得cos(β-γ)=-

1

2

，cos(α-γ)=-

1

2

，
∵α，β，γ∈[0，

4π

3

]，由对称性，不防设

4π

3

≥α＞β＞γ≥0，
则0＜α-β＜

4π

3

，0＜β-γ＜

4π

3

，0＜α-γ≤

4π

3

，
又由（1）知α-β=

2π

3

，β-γ=

2π

3

，α-γ=

4π

3

，若γ＞0，则α=

4π

3

+γ＞

4π

3

矛盾！
∴γ=0，有β=

2π

3

，α=

4π

3

，
∴sin（α+β+γ）=sin2π=0．

点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用．要熟练掌握三角函数中倒数关系，平方关系和商数关系．