Question

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c．数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问T_n＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析：（1）先根据点（1，

1

3

）在f（x）=a^x上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再由等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c求出数列{a_n}的公比和首项，得到数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

可得到数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{

Sn

}的通项公式，再由b_n=S_n-S_n-1可确定{b_n}的通项公式．
（2）先表示出T_n再利用裂项法求得的表达式T_n，根据T_n＞

1000

2009

求得n．

解答：解：（1）由已知f（1）=a=

1

3

，∴f（x）=(

1

3

)x，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c=(

1

3

)-nc，
∴a₁=f（1）=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

数列{a_n}是等比数列，应有

a2

a1

=

a3

a2

=q，解得c=1，q=

1

3

．
∴首项a₁=f（1）=

1

3

-c=-

2

3

∴等比数列{a_n}的通项公式为an=(-

2

3

) (

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n．
（2）∵S_n-S_n-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n                
∴S_n=n²
 当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又n=1时也适合上式，
∴{b_n}的通项公式b_n=2n-1．
（2）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

由Tn＞

1000

2009

，得

n

2n+1

＞

1000

2009

，n＞

1000

9

，
故满足Tn＞

1000

2009

的最小正整数为112．

点评：本题考查了求数列通项中的两种题型：构造等差（等比）数列法，利用a_n，s_n的关系求解．以及裂项法数列求和．与函数、不等式相联系，增加了综合性．要求具有综合分析问题，解决问题的能力．