Question

已知函数f（x）=2x²-2ax+3在区间[-1，1]有最小值，记为g（a）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行配方得f（x）=2x²-2ax+3=2（x-

a

2

）²+3-

a2

2

，再分类讨论研究函数的最小值；
（2）由（1）的分段函数，分段求函数的最大值，再取它们的最大值，从而得解．

解答：解：（1）由题意，f（x）=2x²-2ax+3=2（x-

a

2

）²+3-

a2

2

当

a

2

≤-1时，即a≤-2，最小值g（a）=f（-1）=2+2a+3=2a+5
当-1＜

a

2

＜1时，即-2＜a＜2，最小值g（a）=3-

a2

2

当

a

2

≥1时，即a≥2，最小值g（a）=f（1）=2-2a+3=5-2a
∴g(a)=

2a+5，a≤-2 3- a2 2 ，-2＜a＜2 5-2a，a≥2

（2）当a≤-2时，g（a）=f（-1）=2+2a+3=2a+5最大值为1
当-2＜a＜2时，最小值g（a）=3-

a2

2

最大值为3
当a≥2时，最小值g（a）=f（1）=2-2a+3=5-2a最大值为1 
故g（a）的最大值为3

点评：本题以二次函数为载体，考查二次函数的最小值，关键是利用配方法，进行恰当的分类讨论．