Question

已知数列{a_n}满足关系式an+1=

n

an

+2，n∈N*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求证：

n

+1≤an＜

n+1

+1；
（Ⅲ）求证：

n+1

-1＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2(

n+3

-

3

)．

Answer 1

分析：（1）根据递推公式，计算即可．
（2）是个与自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法．
（3）在（2）的基础上，将

1

an

从分母有理化，放缩两个角度适当变形，考虑正负相消，使两端和式出现命题中的形式．

解答：解：（Ⅰ）由题意，知a2=

5

2

，a3=

14

5

，a4=

43

14

．…（3分）
（Ⅱ）由an+1=

n

an

+2，及a₁=2，知a_n＞0．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁=2满足

1

+1≤a1＜

1+1

+1，成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，

k

+1≤ak＜

k+1

+1成立，则
当n=k+1时，ak+1=

k

ak

+2＞

k

k+1 +1

+2=

k+1

+1.ak+1=

k

ak

+2≤

k

k +1

+2．
下面用分析法证明：

k

k +1

+2＜

k+2

+1．
只需证k+

k

+1＜(

k

+1)

k+2

，只需证k+

k

+1＜(

k

+1)

k+2

，
只需证(k+

k

+1)2＜[(

k

+1)

k+2

]2，只需证2

k

+1＞0，此式显然成立．
所以

k

k +1

+2＜

k+2

+1成立．从而ak+1=

k

ak

+2＜

k

k +1

+2＜

k+2

+1．
由（1），（2）可知，对一切k∈N^*，

n

+1≤an＜

n+1

+1成立．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知

1

n+1 +1

＜

1

an

≤

1

n +1

，
而

1

n+1 +1

≥

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

1

n +1

=

2

( n +1)+(  n +1)

＜

2

n+3 + n+2

=2(

n+3

-

n+2

)

∴

n+1

-

n

＜

1

an

＜2(

n+3

-

n+2

)
∴(

2

-

1

)+(

3

-

2

)…+  (

n+1

-

n)

＜

1

a1

+

1

a2

+…＜2(

4

-

3

)+2(

5

-

4

) +… +2(

n+3

-

n+2

)
即

n+1

-1＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2(

n+3

-

3

)

点评：本题考查数列的递推公式的直接应用，数学归纳法，及放缩法证明不等式．

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

无法再进一步计算整理，故考虑逐项转化，达到目的为止．