Question

如图，过点（0，a³）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线y=-8，垂足分别为D、C．
（1）若a=1，求矩形ABCD面积；
（2）若a∈（0，2），求矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

（1）设切点为（x₀，y₀），则y0=-ax02，
因为y'=-2ax，所以切线方程为y-y₀=-2ax₀（x-x₀），即y+ax02=-2ax0(x-x0)，
因为切线过点（0，a³），所以a3+ax02=-2ax0(0-x0)，即a3=ax02，于是x₀=±a．
将x₀=±a代入y0=-ax02得y0=-a3．
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形ABCD面积为S=16a-2a⁴，
当a=1时，矩形ABCD的面积S=16×1-2×1⁴=14；
（2）由（1）得：矩形ABCD面积为S=16a-2a⁴（0＜a＜2），
则S'=16-8a³=8（2-a³）．
所以当0＜a＜

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时，S'＞0；当

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＜a＜2时，S'＜0；
故当a=

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时，S有最大值为S=16×

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-2×(

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)4=12

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．