Question

函数y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x+1），并且f（1）=3997，则f（2012）=

1987

．

Answer 1

分析：根据反函数的求法，由y=f^-1（x+1）得x+1=f（y）．即x=f（y）-1，从而得出f（x）-f（x+1）=1，分别取x=1，2，…，2011，并求和即可得到f（2012）的值．

解答：解：由y=f^-1（x+1）得x+1=f（y）．
即x=f（y）-1，
所以y=f^-1（x+1）的反函数为y=f（x）-1．
所以f（x+1）=f（x）-1，
即f（x）-f（x+1）=1，
取x=1，2，…，2011，
并求和得f（1）-f（2）+f（2）-f（3）+…+f（2011）-f（2012）=2011，
所以f（2012）=3997-2011=1986．
故答案为：1986．

点评：本小题主要考查反函数的应用、函数的值、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．