Question

对于函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），给出下列四个判断：
①若方程f（x）=x有实根，则方程f（f（x））=x一定有实根；
②若方程f（x）=x有实根，则方程f（f（x））=x不一定有实根；
③若方程f（x）=x没有实根，则方程f（f（x））=x一定没有实根；
④若方程f（x）=x没有实根，则方程f（f（x））=x不一定没有实根；
其中正确判断的序号是

 

．

Answer 1

分析：先利用方程f（x）=x有实根等价于函数y=f（x）与y=x有交点，推出方程f（f（x））=x一定有实根．判断出①对．再利用互为逆否的命题真假相同判断出③对．可得答案．

解答：解；方程f（x）=x有实根等价于函数y=f（x）与y=x有交点，可设交点为（a，a）．则a=f（a），所以f（f（a））=f（a）=a，即方程f（f（x））=x一定有实根a．故①对．
又因为上面的过程每一步都是等价的，所以方程f（f（x））=x有实根可得方程f（x）=x一定有实根．根据互为逆否的命题真假相同，故若方程f（x）=x没有实根，则方程f（f（x））=x一定没有实根也为真命题．即③对．
故答案为：①③．

点评：本题考查根的存在性和根的个数的判断问题．在解题过程中用到了转化的思想和互为逆否的命题真假相同的结论，是一道基础题，但也是易错题．