Question

已知f(x)为一次函数,f［f(1)］=-1,f(x)的图象关于直线x-y=0的对称的图象为C,若点(n,)(n∈N^*)在曲线C上,并有a₁=1,-=1(n≥2).

(1)求f(x)的解析式及曲线C的方程;

(2)求数列{a_n}的通项公式;

(3)设S_n=+++…+,对于一切n∈N^*,都有S_n＞m成立,求自然数m的最大值.

Answer 1

解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0),

∴f［f(1)］=k²+kb+b=-1.                                                     ①

∵f(x)的图象关于直线x-y=0的对称的图象为C,

∴曲线C为f^-1(x)=-.∴f^-1(n)=-,f^-1(n-1)=-,

则f^-1(n)-f^-1(n-1)=.

又点(n,)(n∈N^*)在曲线C上,

∴f^-1(n)=,                                                             ②

f^-1(n-1)=.∴f^-1(n)-f^-1(n-1)= -=1.

∴k=1,b=-1.

∴f(x)=x-1,曲线C:y=x+1.                                                  

(2)由②f^-1(n)=,∴=n+1.

∴··…··=n·(n-1)·…·3·2=n!.

∵a₁=1,∴a_n=n!.                                                            

(3)∵===-,

∴S_n=+++…+

=(-)+(-)+…+(-)

=-.

∵0＜≤,≤-＜,

∴S_n的最小值为.

∴m＜,因而自然数m的最大值是0.