Question

已知函数f（x）=（x²-a）e^x．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若x₁，x₂为f（x）的两个不同的极值点，且|ex2f(x1)-ex1f(x2)|≥4ex1+x2|

x

2 1

x2-x1

x

2 2

|，若3f(a)＜a3+

3

2

a2-3a+b恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意把a=3代入解析式，然后对函数求导，令导数大于0 解出函数的单调递增区间，在令导数小于0解出的为函数的单调区间；
（II）由题意求出函数的导函数令导函数为0，再有3f(a)＜a3+

3

2

a2-3a+b恒成立，得到关于a的函数式子g（a），判断该函数的极值与最值即

解答：解（1）∵a=3，
∴f（x）=（x²-3）e^x，f'（x）=（x²+2x-3）e^x=0
∴x=-3或x=1
令f'（x）＞0，解得x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）
令f'（x）＜0，解得x∈（-3，1），
∴f（x）的递增区间为（-∞，-3），（1，+∞）；递减区间为（-3，1）
当x=-3时，函数有极大值为6e^-3，当x=1时函数有极小值为-2e；
（2）由（x）=（x²+2x-a）e^x=0可得x²+2x-a=0
由题意两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a，
又∵|ex2f(x1)-ex1f(x2)|≥4ex1+x2|

x

2 1

x2-x1

x

2 2

|，
∴|ex2ex1(x12-a)-ex1ex2(x22-a)|≥4ex1+x2|x12x2-x1x22|
∴|x₁+x₂|≥4|x₁x₂|
∴-

1

2

≤a≤

1

2

且△=4+4a＞0，∴-

1

2

≤a≤

1

2

设g（a）=3f（a）-a3-

3a2

2

+3a=3（a²-a）e^a-a3-

3a2

2

+3a
∴g′（a）=3（a²+a-1）（e^a-1）=0⇒a=

-1± 5

2

或a=0
又∵-

1

2

≤a≤

1

2

函数在[-

1

2

，0）上单调递增，在[0，

1

2

]上单调递减
∴g（a）max=g（0）=0
∴b＞0

点评：此题考查了利用导函数求出函数的单调区间，还考查了利用导函数求出函数的最值及学生的计算能力，转化思想．