Question

已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意，满足关系。

   （Ⅰ）求数列的通项公式；

   （Ⅱ）设数列的前n项和为，且，求证：对任意正整数n，总有。

（Ⅲ）在正数数列中，设，求数列中的最大项。

Answer 1

（Ⅰ）解：∵，①

              ∴   

              ①－②，得

              ∵，∴，

              即数列是等比数列。       

              ∴，即。

              ∴。   

（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有，

                 ∴

                           

                                    

（Ⅲ）解：由知。

               令，则，

               ∵在区间上，，在区间上，，

               ∴在区间上为单调递减函数。      

               ∴且时，是递减数列。

               又，∴数列中的最大项为。