Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(

1

2

)an，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n＜m对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186，求得公差，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入bn=(

1

2

)an，证明数列{b_n}是等比数列，根据等比数列求和公式求得T_n，求T_n的最大值．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=-1，S₁₂=186，
∴S12=12a1+

12×11

2

d，即186=-12+66d．∴d=3．
所以数列{a_n}的通项公式a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．
（Ⅱ）∵bn=(

1

2

)an，a_n=3n-4，∴bn=(

1

2

)3n-4．
∵当n≥2时，

bn

bn-1

=(

1

2

)3=

1

8

，
∴数列f(1)=

1

4

，故k1=

1

4

．是等比数列，首项b1=(

1

2

)-1=2，公比q=

1

8

．
∴Tn=

2[1-( 1 8 )n]

1- 1 8

=

16

7

×[1-(

1

8

)n]．
∵

16

7

×[1-(

1

8

)n]＜

16

7

(n∈N*)，又不等式T_n＜m对n∈N*恒成立，
而1-(

1

8

)n单调递增，且当n→∞时，1-(

1

8

)n→1，
∴m≥

16

7

．

点评：考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，及它们之间的相互转化，体现了极限的思想方法，属中档题．