Question

（2009•湖北模拟）已知函数f(x)=

x3-1 x-1 ，x≠1 a，x=1

，若f(x)在R上连续，则 

lim

n→∞

(

an-1

n

+

2a

3n

)=

3

．

Answer 1

分析：本题中函数是一个分段函数，由于函数在xR上连续，故可知函数在点x=1处连续，由其左右两侧函数值的极限相等建立方程求参数，由于其中一段在x=1处无定义，故需要先对其进行变形，以方便判断其右侧函数值的极限．根据极限的运算法则，即可求得结果．

解答：解：当x≠1时，f（x）=

x3-1

x -1

=x2+x+1
由于函数在x=1处连续，故有
a=1+1+1=3
 

lim

n→∞

(

an-1

n

+

2a

3n

)=

lim

n→∞

（

3n-1

n

+

2

n

）=

lim

n→∞

（3+

1

n

）=3
故答案为：3．

点评：本题考点是函数的连续性，考查由函数的连续性得到参数的方程求参数，函数连续性的定义是：如果函数在某点处的左极限与右极限相等且等于该点处的函数值，则称此函数在该点处连续．本题中对x≠1时的解析式进行化简是一个难点，变形时要严谨、认真，避免变形出错．属中档题．