Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2+

1

x

．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 易得f（0）=0，令x＞0，则-x＜0，代入已知结合函数的奇偶性可得解析式；
（Ⅱ） 函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，可用定义法证明．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，
∴对定义域R内任意的x，都有f（-x）=-f（x）--（1分）
令x=0得，f（0）=-f（0），即f（0）=0--------------（3分）
又当x＞0时，-x＜0，此时f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+(

1

-x

)]=-x2+

1

x

---（5分）
综合可得：f(x)=

x2+ 1 x ，x＜0 0，x=0 -x2+ 1 x ，x＞0

--------（7分）
（Ⅱ） 函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，下面给予证明．-----------（8分）
设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(-

x

2 1

+

1

x1

)-(-

x

2 2

+

1

x2

)
=(x2-x1)•(x2+x1+

1

x1x2

)-----（10分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x2-x1＞0，x2+x1＞0，

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）---（13分）
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．------------（14分）

点评：本题考查函数的单调性，涉及对称区间的解析式的求解，属基础题．