题目内容

在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，设O是△ABC的内心，若
AO
=p
AB
+q
AC
，则
p
q
=
3
3
．
分析：由余弦定理算出AC长，从而得到△ABC为以BC为斜边的直角三角形，得内切圆半径r=
3
+1．设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OEAF是正方形，所以
AO
=
AE
+
AF
，根据AB、AC的长度与AE、AF长度之间的关系可得用
AB
、
AC
的
AO
线性表示式，即可得到所求p、q的比值．
解答：解：如图，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=12
∴AB2+AC2=16=BC2，得△ABC为以BC为斜边的直角三角形
由此可得△ABC的内内切圆半径r=
1
2
（AB+AC-BC）=
3
+1
设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则四边形OEAF是正方形
∵
|AE|
|AB|
=
1+
3
2
，
|AF|
|AC|
=
1+
3
2
3
=
3+
3
6
，
AO
=
AE
+
AF

∴
AO
=
1+
3
2
AB
+
3+
3
6
AC

∵已知
AO
=p
AB
+q
AC

∴p=
1+
3
2
，q=
3+
3
6
，可得
p
q
=
1+
3
2
3+
3
6
=
3

故答案为：
3
点评：本题给出三角形，求向量
AO
线性表示式，着重考查了余弦定理、直角三角形内切圆公式和平面向量基本定理等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（　　）
在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圆的面积．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．
在△ABC中，AB=a，AC=b，当
a
•
b
＜0时，△ABC为
钝角三角形
钝角三角形
．
在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，则△ABC的面积为
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圆的面积为
7π
3
7π
3
．
在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M为AB的中点，
BN
=
1
3
BC
，则
 
．

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