Question

（本小题满分12分）

设函数f（x）=x³+ax²-9x-1 （a<0）,若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行．

   （1）求a的值;

   （2）求函数f（x）的单调区间．m

Answer 1

解(1) =3x²+2ax-9        …………………………………2分

因为斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,

即该切线的斜率为-12,

所以 ,a=±3 又a<0， 所以a=-3……………………………6分

(2)   由(1)知a=-3，f(x)=x³-3x²-9x-1

=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1)

令=，解之得x₁=-1, x₂=3

当x∈(-∞,-1)时, >0, 在(-∞,-1)是增函数；

当x∈(-1,3)时, <0, 在(-1,3)是减函数；

当x∈(3,+∞)时, >0 , 在(3,+∞)是增函数；

所以函数f(x)的单调递增区间为 (-∞,-1)和(3,+∞)；

单调递减区间为(-1,3).                     …………………………………12分