Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），且在区间[-1，4]上的最大值为12，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：

2x2+(m-10)x+5

f(x)

＞1(m＜0)．

Answer 1

分析：（1）由不等式解集的形式判断出0，5是f（x）=0的两个根，利用二次函数的两根式设出f（x），求出f（x）在[-1，4]上的最大值，列出方程求出f（x）．
（2）将分式不等式转化为整式不等式，通过对两个根-

5

m

，5的大小的讨论写出不等式的解集．

解答：解：

(1)由题设可设f(x)=ax(x-5)(a＞0)，在区间[-1，4]上的最大值为f(-1)=12， 得a=2，f(x)=2x2-10x(5分) (2)该不等式为 2x2+(m-10)x+5 2x2-10x ＞1(m＜0)，等价于x(x+ 5 m )(x-5)＜0(m＜0) 当m＜-1，x∈(-∞，0)∪(- 5 m ，5)；(7分) 当m=-1，x∈(-∞，0)；(9分) 当-1＜m＜0，x∈(-∞，0)∪(5，- 5 m )(11分) 综上所述：不等式的解集情况为(以上三种情况)(12分)

m＜-1时，解集为(-∞，0)∪(-

5

m

，5)
当m=-1时，解集为（-∞，0）
当-1＜m＜0时，解集为(-∞，0)∪(5，-

5

m

)

点评：解决二次不等式时要注意不等式的解集与相应的方程的姐的关系；解决分式不等式时要等价转化为整式不等式．