Question

【题目】设为正整数，记平面点集.问：平面内最少要有多少条直线，它们的并集才能包含，但不含点?

Answer 1

【答案】至少需要条直线.

【解析】

至少需要条直线.

容易发现，条直线满足要求.例如，直线和，易见，这条直线的并集包含但不含原点.

另外的例子是直线集.

下面证明：为最小可能数.

假设平面内条直线的并集包含，但不包含原点，设其方程为.

考虑多项式.

则其阶为，且对任意，有，.

记，并记为被除的余式.

由多项式以为个零点，知对所有均成立.

注意到，.

故，且显然有.

将多项式表示成的降幂形式.

因为，所以，不为零多项式.

又当时，.

故有个根.

于是，，这表明，不为零多项式.

又对于，当时，均有..

这表明，至少有个根.

而，则为零多项式.

故对于任意，.

于是，至少有个根.

而不为零多项式，因此，.

于是，.

进而，.

综上，至少要条直线才能满足题设条件.