Question

【题目】已知函数．

（1）若，求的值；

（2）设为整数，且对于任意正整数， ，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】试题分析：（1）求导数，根据的符号判断函数的单调性，根据求的值，解题时注意这一条件的运用；（2）利用（1）的结论，当时， ，

即，进而，此时令，可得，所以，最后在此结论的基础上，可以得到，故可求出。

试题解析：

（1）因为，

所以，且．

①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以在（0,1）上f(x)<0, 与f（x）≥0矛盾；

②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=a，

所以当时， 单调递减；当时， 单调递增。

所以当时， 有最小值，且，

又因为，

所以，

解得a=1；

（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，

所以ln（x+1）≤x，当且仅当x=0时等号成立，

令，

所以，

所以．

因为，

所以，

又，

同时当n≥3时， ．

因为m为整数，且对于任意正整数n， ，

所以，

故m的最小值为3．