Question

将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

（纵坐标不变），再向左平移

π

12

个单位后，得到的图象与函数g（x）=sin2x的图象重合．
（1）写出函数y=f（x）的图象的一条对称轴方程；
（2）若A为三角形的内角，且f（A）=

1

3

•，求g（

A

2

）的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知将函数g（x）=sin2x的图象向右平移

π

12

个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f（x）的图象可得f（x）=sin（x-

π

6

），令x-

π

6

=kπ+

π

2

可求答案．
（2）由f（A）=

1

3

可得，sin（A-

π

6

)=

1

3

=

1

3

结合已知0＜A＜π，且0＜sin（A-

π

6

)=

1

3

=

1

3

＜

1

2

可得0＜A-

π

6

＜

π

2

从而可求得cos（A-

π

6

）=

2 2

3

而g(

A

2

) =sinA=sin[(A-

π

6

)+

π

6

]=

1

2

cos(A-

π

6

)+

3

2

sin(A-

π

6

)代入可求答案．

解答：解：（1）由题意可知将函数g（x）=sin2x的图象向右平移

π

12

个单位，
再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f（x）的图象，
∴f（x）=sin（x-

π

6

）
由x-

π

6

=kπ+

π

2

得x=kπ+

2π

3

，k∈Z
∴x=kπ+

2π

3

，k∈Z
（2）由f（A）=

1

3

可得，sin（A-

π

6

)=

1

3

=

1

3

∵0＜A＜π，且0＜sin（A-

π

6

)=

1

3

=

1

3

＜

1

2

0＜A-

π

6

＜

π

2

∴cos（A-

π

6

）=

2 2

3

g(

A

2

) =sinA=sin[(A-

π

6

)+

π

6

]=

1

2

cos(A-

π

6

)+

3

2

sin(A-

π

6

)=

2 2 + 3

6

．

点评：本题考查了函数的平移及周期变换，三角函数的性质的应用，及利用拆角的技巧求解三角函数值等知识的综合运用，考查了推理运算的能力．属于中档试题．