题目内容
（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是
，答对每道乙类题的概率都是
，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
分析：（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有
，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解
（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
| C | 3 10 |
（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
解答：解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”
则
=张同学至少取到的全为甲类题
∴P（A）=1-P（
）=1-
=
（II）X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）=
(
)0•(
)2•(
)=
P（X=1）=
•
•
•
+
•(
)2•
=
P（X=2）=
•(
)2+
•
•
•
=
P（X=3）=
•(
)2•(
)=
X的分布列为
EX=0×
+1×
+2×
+3×
=2
则
. |
| A |
∴P（A）=1-P（
. |
| A |
| ||
|
| 5 |
| 6 |
（II）X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）=
| C | 0 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 125 |
P（X=1）=
| C | 1 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| C | 0 2 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 28 |
| 125 |
P（X=2）=
| C | 2 2 |
| 3 |
| 5 |
| C | 1 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 57 |
| 125 |
P（X=3）=
| C | 2 2 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 36 |
| 125 |
X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 4 |
| 125 |
| 28 |
| 125 |
| 57 |
| 125 |
| 36 |
| 125 |
点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
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