Question

【题目】设函数f（x）=x2-ax+b，问：（1）讨论函数f（sinx）在（ ， ）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记f0（x）= - x + ,求函数| f ( sin x ) - ( sin x )| 在[ . ]上的最大值D,（3）在（2）中，取a0=b0=0,求z= b - 满足D ≤ 1时的最大值
（1）讨论函数f（sinx）在（ ， ）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）记f0（x）=,求函数在上的最大值D,
（3）在（2）中，取a0=b0=0,求z=满足D1时的最大值

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（sinx）=sin2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b,,=(2sinx-a)cosx,

①当a-2，bR时，函数f（sinx）单调递增，无极值

②当a，bR时，函数f（sinx）单调递减，无极值

③当-2a2，在（，）内存在唯一的x0，是得2sinx=a，-xx0时，函数f（sinx）单调递增;X0X时，函数f（sinx）单调递增，因此，-2a2，bR时，函数f（x）在X0处有极小值f（sinX0)=f()=

（2）

解：时，=(a0-a)sinx+b-b0.当0时，取x=，等号成立。当0时，取x=-，等号成立，由此可知最大值为D=+

(3)D1，即+1,此时0a21，-1b1，从而z=b-1

（3）

解：D1，即+1,此时0a21，-1b1，从而z=b-1

取a=0，b=1.则+1,并且z=b-=1.由此可知，z=满足条件D1的最大值为1

【解析】函数导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为最值问题，把方程的根转化为零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分，注意数学思想方法的应用。
【考点精析】通过灵活运用函数的单调性和二次函数在闭区间上的最值，掌握注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种；当时，当时，；当时在上递减，当时，即可以解答此题．