题目内容
已知角α∈(0，π)，向量
=(2，-1+cosα)，
=(-1，cos2α)，
∥
，f(x)=sinx+
cosx
（Ⅰ）求角α的大小；
（Ⅱ）求函数f（x+α）的最小正周期与单调递减区间．
| m |
| n |
| m |
| n |
| 3 |
（Ⅰ）求角α的大小；
（Ⅱ）求函数f（x+α）的最小正周期与单调递减区间．
分析：（Ⅰ）利用
∥
，将向量共线条件转化为方程，从而可求角α的大小；
（Ⅱ）将函数f（x+α）化为f(x+α)=2sin(x+
)，从而可求函数f（x+α）的最小正周期与单调递减区间．
| m |
| n |
（Ⅱ）将函数f（x+α）化为f(x+α)=2sin(x+
| 2π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ） 由已知得2cos2α+cosα-1=0
∴cosα=
或cosα=-1，
∵角α∈（0，π），
∴cosα=
⇒α=
，
（Ⅱ）∵f(x)=sinx+
cosx=2sin(x+
)
∴f(x+α)=2sin(x+
)
∴周期T=2π
∵2kπ+
＜x+
＜2kπ+
，k∈z，
∴x∈(2kπ-
，2kπ+
)，k∈z时函数f（x+α）单调递减
∴cosα=
| 1 |
| 2 |
∵角α∈（0，π），
∴cosα=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵f(x)=sinx+
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f(x+α)=2sin(x+
| 2π |
| 3 |
∴周期T=2π
∵2kπ+
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
∴x∈(2kπ-
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
点评：本题以向量为载体，考查三角函数，考查函数的性质，属于中档题．
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