题目内容

某同学在研究函数f（x）=
2x
|x|+1
（x∈R）时，给出下列结论：
①f（-x）+f（x）=0对任意x∈R成立；
②函数f（x）的值域是（-2，2）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④函数g（x）=f（x）-2x在R上有三个零点．
则正确结论的序号是（　　）
分析：分析函数的奇偶性，可判断①；利用分类讨论和分离常数法，求出函数的值域，可判断②；判断函数的单调性，可判断③；求出函数g（x）=f（x）-2x在R上零点个数，可判断④．
解答：解：∵函数f（x）=
2x
|x|+1
（x∈R）
∴f（-x）=
-2x
|-x|+1
=-
2x
|x|+1
，故f（-x）+f（x）=0恒成立，故①正确；
当x≥0时，f（x）=
2x
x+1
=2+
-2
x+1
∈[0，2）
当x＜0时，f（x）=
2x
-x+1
=-2+
2
-x+1
=-2-
2
x-1
∈（-2，0）
故函数f（x）的值域是（-2，2），故②正确；
函数f（x）=
2x
|x|+1
在定义域上为增函数，故x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），故③正确；
函数g（x）=f（x）-2x=
2x
|x|+1
-2x，当且仅当x=0时，g（x）=0，
故函数g（x）=f（x）-2x在R上只有一个零点，故④错误
故函数g（x）=f（x）-2x在R上有三个零点①②③
故选C
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性，值域，单调性，零点等知识点，熟练掌握函数的图象和性质是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
某同学在研究函数f（x）=
x1+|x|
（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
①f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有
 
．
某同学在研究函数 f （x）=
x1+|x|
（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数 f （x） 的值域为 （-1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；
④方程f（x）-x=0有三个实数根．
其中正确结论的序号有
①②③
①②③
．（请将你认为正确的结论的序号都填上）
某同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数；
④若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立，
上述结论中所有正确的结论是（　　）
某同学在研究函数f(x)=
2x|x|+1
(x∈R)时，分别得出如下几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-2，2）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④函数y（x）=f（x）-2x在R上有三个零点．
其中正确的序号有
①②③
①②③
．
（2009•上海模拟）某同学在研究函数f(x)=
x1+|x|
 (x∈R)时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立；
②若f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有
①②
①②
．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

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