Question

已知函数f(x)=x+

4

x

（1）试证明f（x）在[2，+∞）上为增函数；
（2）当x∈[3，5]时，求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）在[2，+∞）上任意取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＜0，从而证得f（x）在[2，+∞）
上为增函数．
（2）由于f（x）在[2，+∞）上为增函数，由此求得当x∈[3，5]时，函数f（x）的最值．

解答：（1）证明：在[2，+∞）上任意取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)=x1-x2+

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)=(x1-x2)(

x1x2-4

x1x2

)．
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞4x₁x₂-4＞0，
∴(x1-x2)(

x1x2-4

x1x2

)＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[2，+∞）上为增函数．
（2）∵f（x）在[2，+∞）上为增函数，故f（x）在x=3处取得最小值f(3)=3+

4

3

=

13

3

，
f（x）在x=5处取得最大值f(5)=5+

4

5

=

29

5

．

点评：本题主要考察函数的单调性的定义和证明方法，利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题．