Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf'（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

分析：（I）先根据导数公式求出导函数f'（x），代入xf'（x）≤x²+ax+1，将a分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数a的取值范围；
（II）根据（I）可知g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0，然后讨论a与1的大小，从而确定（x-1）的符号，然后判定f（x）与0的大小即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=lnx+

1

x

，
xf'（x）=xlnx+1，
题设xf'（x）≤x²+ax+1等价于lnx-x≤a．
令g（x）=lnx-x，则g′(x)=

1

x

-1
 当0＜x＜1，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，
g（x）≤g（1）=-1
 综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1即lnx-x+1≤0．
当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；
当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x(lnx+

1

x

-1)=lnx-x(ln

1

x

-

1

x

+1)≥0
 所以（x-1）f（x）≥0

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．