Question

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当时，f（x）=sinx

（1）求当x∈[﹣π，0]时f（x）的解析式

（2）画出函数f（x）在[﹣π，π]上的函数简图

（3）求当时，x的取值范围．

Answer 1

考点：

函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

（1）首先取x，得到，把﹣x代入时的解析式，结合偶函数的概念可求得

x时的解析式，然后再取x，加π后得到x+π∈，代入时的解析式，

结合周期函数的概念求解f（x）；

（2）作出函数在[﹣π，0]上的图象，根据偶函数图象关于y轴轴对称得到函数在[0，π]上的图象；

（3）先求出[﹣π，0]上满足的x的取值范围，根据函数是以π为周期的周期函数，把得到的区间端点值加上π的整数倍得到要求解的区间．

解答：

（1）因为f（x）是偶函数，所以f（﹣x）=f（x）

而当x∈时，f（x）=sinx，所以x时，，

f（x）=f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx．

又当x时，x+π∈，

因为f（x）的周期为π，所以f（x）=f（π+x）=sin（π+x）=﹣sinx．

所以当x∈[﹣π，0]时f（x）=﹣sinx．

（2）函数图象如图，

（3）由于f（x）的最小正周期为π，

因此先在[﹣π，0]上来研究，即．

所以．所以，．

由周期性知，当时，（k∈Z）．

所以，当时，x的取值范围是（k∈Z）．

点评：

本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了三角函数的周期及图象，考查了三角函数的奇偶性，解答此题的关键是，通过周期变换和平移变换、把要求解解析式的范围内的变量转化到已知解析式的范围内，此题是中档题．