Question

如图，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB＝2，CD＝4，P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是边长为10的正三角形，求平面PAD与面PBC所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如图，延长DA、CB交于E，＝＝，∴AB是△ECD的中位线，CB＝BE＝10．又△PCB为正△，易证△PCE为直角三角形，PE⊥PC．又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交线DA，∴CD⊥平面PDE．PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理)．故∠CPD是D－PE－C的平面角．在Rt△CDP中，sin∠DPC＝＝，故二面角大小为arcsin． 　　 　　CD⊥平面PAD 　　△PAD是△PBC在平面PDA内的射影．设面PDA与面PCB所成的二面角为，则S△PDA＝S△PCB·cos．Rt△PAB中，PA＝4＝AD；Rt△PDC中，PD＝2． 　　∴△PAD为等腰三角形且S△PAD＝PD·AH＝15． 　　cos＝＝＝， 　　＝arccos＝．