Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=-（x为实常数）．
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）-g（x）=lnx--
∴φ′（x）=
∵x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0
∴函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增
∴x=4时，φ（x）_min=2ln2-；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化为x²=-，∴a=-x³，
设y=-x³，则y′=-3x²，
∵x∈[]
∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减
∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，
∴y∈[]
∴a∈[]
分析：（1）求导数，求得函数的单调性，即可求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）化简方程，分离参数，再构建新函数，确定函数的单调性，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．