Question

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于P，Q两点．
（Ⅰ）若

OP

•

OQ

=-

1

2

，求直线l的方程；
（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积的定义求出，∠POQ=120°，得到O到直线l的距离等于

1

2

，根据点到直线的
距离公式求出直线l的斜率，从而得到直线l的方程．
（Ⅱ）因为△OMP与△OPQ的面积相等，可得

MQ

=2

MP

，再由P，Q两点在圆上，可解得点P的坐标，
由两点式求得直线l的斜率．

解答：解：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点M（-2，0），可设直线l：y=k（x+2）．
因为P、Q两点在圆x²+y²=1上，所以，|

OP

|=|

OQ

|=1，
因为

OP

•

OQ

=-

1

2

，所以，

OP

•

OQ

=|

OP

|•|

OQ

|•cos∠POQ=-

1

2

所以，∠POQ=120°，所以，O到直线l的距离等于

1

2

． 所以，

|2k|

k2+1

=

1

2

，得k=±

15

15

，
所以直线l的方程为 x-

15

y + 2=0，或 x+

15

y+2=0．
（Ⅱ）因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以，

MQ

=2

MP

，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），所以，

MQ

=(x2+2，y2)，

MP

=(x1+2，y1)．
所以，

x2+2=2(x1+2) y2=2y1

，即

x2=2(x1+1) y2=2y1

（*）；     因为，P，Q两点在圆上，
所以，

x12+y12=1 x22+y22=1

把（*）代入，得

x12+y12=1 4(x1+1)2+4y12=1

，所以，

x1=- 7 8 y1=± 15 8

，
所以，直线l的斜率k=kMP=±

15

9

，即 k=±

15

9

．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，直线和圆相交的性质，求出点P的坐标是解题的难点．