Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+

1

a

)x2+x(a＞0)，则f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大时的切线方程为

y=

1

3

．

Answer 1

分析：先对函数f（x）进行求导，然后求出导函数的最大值，其最大值即为斜率最大的切线方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+

1

a

)x2+x(a＞0)，
∴f'（x）=x²-（a+

1

a

）x+1，
∴当x=1时，f'（1）=1²-（a+

1

a

）+1=2-（a+

1

a

）≤2-2

a• 1 a

=0，
∴当a=1时，f'（1）取到最大值0，
∴f（x）=x³+3x²+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3，此时a=1，
即f（x）在点（1，f（1））处切线斜率最大为0，
∵切点坐标为（1，

1

3

）
∴切线方程为：y-

1

3

=0（x-1），即y=

1

3

．
故答案为：y=

1

3

．

点评：本题主要考查导数的几何意义和导数的运算．导数的几何意义是函数在某点的导数值等于过该点的切线的斜率的值．