Question

过椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．
（1）求k的值；
（2）设C（-2，0），求tan∠ACB．

Answer 1

（1）由椭圆方程，a=

2

，b=1，c=1，则点F为（-1，0）．
直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得
（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则
x₀=

x1+x2

2

=-

2k2

2k2+1

，y₀=k（x₀+1）=

k

2k2+1

，
由点M在直线x+2y=0上，知-2k²+2k=0，
∵k≠0，
∴k=1．…（6分）
（2）将k=1代入①式，得3x²+4x=0，
不妨设x₁＞x₂，则x₁=0，x₂=-

4

3

，…（8分）
记α=∠ACF，β=∠BCF，则
tanα=

y1

x1+2

=

x1+1

x1+2

=

1

2

，tanβ=-

y2

x2+2

=-

x2+1

x2+2

=

1

2

，
∴α=β，
∴tan∠ACB=tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

3

．…（12分）