Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．（1）若x=

2

3

为y=f（x）的极值点，求实数a的值； （2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=

b

x

有实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=

a

ax+1

+3x²-2x-a=

x[3ax2+(3-2a)x-(a2+2)]

ax+1

∵x=

2

3

为f（x）的极值点，∴f′（

2

3

）=0
∴3a(

2

3

)2+

2

3

（3-2a）-（a²+2）=0且

2

3

a+1≠0
∴a=0．
又当a=0时，f′（x）=x（3x-2），从而x=

2

3

为f（x）的极值点成立．
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）³=

b

x

可得lnx-（1-x）²+（1-x）=

b

x

即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
b=x（lnx+x-x²）       令h（x）=lnx+x-x²
由h′（x）=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

∵x＞0
∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]．