Question

已知函数f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在区间[-1,1]上单调递增，在区间［1,2)上单调递减，

（1）求a的值；

（2）若点A(x₀,f(x₀))在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；

（3）是否存在实数b，使得函数g(x)=bx²-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点?若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

Answer 1

（1）解：∵函数f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,2)上单调递减，

∴x=1时，y取得极大值.

∴f′(1)=0.

∵f′(x)=4x³-12x²+2ax,

∴4-12+2a=0.

∴a=4.

（2）证明:点A(x₀,f(x₀))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x₀,f(x₀)).

f(2-x₀)=(2-x₀)⁴-4(2-x₀)³+4(2-x₀)²-1

=(2-x₀)²［(2-x₀)-2²］-1

=x₀⁴-4x₀³+4x₀²-1

=f(x₀).

∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数f（x）的图象上.

（3）解:函数g(x)=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程

x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1恰有3个不等实根.

x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1x⁴-4x³+(4-b)x²=0.

∵x=0是其中一个根,

∴方程x⁴-4x³+(4-b)x²=0有两个非零不等实根.

b＞0且b≠4.