Question

已知f(x)=|

1

|x-1|-1

|，且关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N^*）个根，则这k个根的和可能是______．（请写出所有可能值）

Answer 1

若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N^*）个根，
令t=f（x），则方程t²+bt+c=0必有正根
若方程t²+bt+c=0有两个相等的正根α
当0＜α＜1时，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=α，|x-1|=1+

1

α

，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有2个根，2根之和为2；
当α=1时，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=1，|x-1|=2，或|x-1|=0，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个根，3根之和为3；
当α=1时，f(x)=|

1

|x-1|-1

|=α，|x-1|=1±

1

α

，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有4个根，4根之和为4；
若方程t²+bt+c=0有两个不等的正根α，β
当0＜α＜1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有4个根，4根之和为4；
当0＜α＜1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个根，5根之和为5；
当0＜α＜1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α=1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个根，5根之和为5；
当α=1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α=1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个根，7根之和为7；
当α＞1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α＞1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个根，7根之和为7；
当α＞1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有8个根，8根之和为8；
故答案为：2、3、4、5、6、7、8