Question

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足Sn=

1

2

(an+

1

an

)，
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

（1）易求得a1=1，a2=

2

-1，a3=

3

-

2

（3分）；
（2）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)（5分）
证明：①当n=1时，a1=

1

-

0

=1，命题成立  
②假设n=k时，ak=

k

-

k-1

成立，（8分）
则n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(

k

-

k-1

+

1

k - k-1

)=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

k

，
所以，

a

2k+1

+2

k

ak+1-1=0，∴ak+1=

k+1

-

k

．
即n=k+1时，命题成立．
由①②知，n∈N^*时，an=

n

-

n-1

．（12分）