题目内容
设函数f(x)=
cos2x+2sinxcosx+1．
（1）求f(
)的值；
（2）若x∈(0，
)，求函数f（x）的最大值．
| 3 |
（1）求f(
| π |
| 3 |
（2）若x∈(0，
| π |
| 2 |
分析：（1）根据辅助角公式与两角和的正弦公式，化简得f（x）=2sin(2x+
)+1，将x=
代入即可算出f(
)的值；
（2）由x∈(0，
)得2x+
∈(
，
)，利用正弦函数的性质得到当2x+
=
即x=
时，sin(2x+
)有最大值1，由此可得函数f（x）的最大值．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由x∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）f(x)=
cos2x+2sinxcosx+1
=2(
sin2x+
cos2x)+1=2(sin2xcos
+cos2xsin
)+1=2sin(2x+
)+1．
∴f(
)=2sin(
+
)+1=1=2sinπ+1=1；
（2）由（1）得f（x）=2sin(2x+
)+1，
∵0＜x＜
，可得
＜2x+
＜
，
∴当2x+
=
时，
即x=
时，sin(2x+
)有最大值1，
由此可得：函数f（x）有最大值为f(
)=2×1+1=3．
| 3 |
=2(
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f(
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由（1）得f（x）=2sin(2x+
| π |
| 3 |
∵0＜x＜
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴当2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
即x=
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
由此可得：函数f（x）有最大值为f(
| π |
| 12 |
点评：本题将一个三角函数式化简，求特殊的函数值并求函数的最大值．着重考查了三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=
，若f（a）+f（-1）=2，则a=（ ）
|
| A、-3 | B、±3 | C、-1 | D、±1 |
设函数f(x)=
则满f(x)=
的x的值（ ）
|
| 1 |
| 4 |
| A、只有2 | B、只有3 |
| C、2或3 | D、不存在 |
设函数f(x)=sin(ωx+?)(ω＞0，0＜?＜
)．若将f（x）的图象沿x轴向右平移
个单位长度，得到的图象经过坐标原点；若将f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），得到的图象经过点(
，1)，则（ ）
| π |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
A、ω=π，?=
| ||||
B、ω=2π，?=
| ||||
C、ω=
| ||||
| D、适合条件的ω，?不存在 |