Question

已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数g(x)=log2(a•2x-

4

3

a)，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log₂（4^x+1）-x=log2(a•2x-

4

3

a)在（log2

4

3

，+∞）有且只有一解，即方程

4x+1

2x

=a•2x-

4

3

a在(log2

4

3

，+∞)上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴函数g(x)=log2(a•2x-

4

3

a)的定义域为（log2

4

3

，+∞）
即满足2x＞

4

3

函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log2(a•2x-

4

3

a)在（log2

4

3

，+∞）有且只有一解
即：方程

4x+1

2x

=a•2x-

4

3

a在(log2

4

3

，+∞)上只有一解
令2^x=t，则t＞

4

3

，因而等价于关于t的方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0（*）在(

4

3

，+∞)上只有一解
当a=1时，解得t=-

3

4

∉(

4

3

，+∞)，不合题意；
当0＜a＜1时，记h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1，其图象的对称轴t=

2a

3(a-1)

＜0
∴函数h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1
∴方程（*）在(

4

3

，+∞)无解
当a＞1时，记h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1，其图象的对称轴t=

2a

3(a-1)

＞0
所以，只需h(

4

3

)＜0，即

16

9

(a-1)-

16

9

a-1＜0，此恒成立
∴此时a的范围为a＞1
综上所述，所求a的取值范围为a＞1．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．