Question

如图1-10，已知矩形ABCD中，AB∶BC=5∶6，点E在BC上，点F在CD上， ， ，FG⊥AE于G.求证:AG =4GE.

图1-10

Answer 1

思路分析:图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k(k＞0)，则 BC =k,  = =3k，得DF =2k，由勾股定理可得AE²=AB²+BE²=50k²，

EF²=EC²+FC²=10k²，AF²=AD²+DF²=40k²，所以AE²=EF²+AF².?

由勾股定理逆定理得△AFE为直角三角形，又因为FG⊥AE，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目.

证明：∵AB∶BC=5∶6,?

∴设AB =5k,BC =6k(k＞0).?

∴在矩形ABCD中，有

CD =AB =5k,BC =AD =6k,∠B =∠C =∠D =90°.?

∵,

∴EC =×6k =k.?

∴BE =5k.?

∵,∴FC =×5k =3k.?

∴DF =CD -FC =2k.?

在Rt△ADF中，由勾股定理得AF²=AD²+DF²=36k²+4k²=40k²，?

同理可得AE²=50k²,EF²=10k².?

∴AF²+EF²=40k²+10k²=50k²=AE².?

∴△AEF是直角三角形.?

∵FG⊥AE，∴△AFE∽△FGE.?

∴EF²=GE·AE.∵,?

∴ = =.?

∴.?

∴AG =AE –GE = =.?

∴AG =4GE.