Question

（2010•台州二模）在O点测量到远处有一物体在作匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=

π

2

，再过一分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=

π

6

，则tan∠OPQ等于（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  4

• C．

  9

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由题意可设PQ=x，则QR=x，∠POQ=90°，∠QOR=30°∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°-∠OPQ，在△ORQ中，由正弦定理可得：

OQ

sinR

=

QR

sin30°

⇒OQ=

x•sinR

sin30°

=2x•sinR=2x•sin（60°-∠OPQ）；同理在△OPQ中，OQ=xsin∠OPQ，从而2x•sin（60°-∠OPQ）=xsin∠OPQ，整理可求tan∠OPQ．

解答：解：设PQ=x，则QR=x，
又∵∠POQ=90°，∠QOR=30°，
∴∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°-∠OPQ，
在△ORQ中，由正弦定理得：

OQ

sinR

=

QR

sin30°

，即OQ=

x•sinR

sin30°

=2x•sinR=2x•sin（60°-∠OPQ）；
在△OPQ中，同理可求得：OQ=

QP

sin90°

•sin∠OPQ=xsin∠OPQ，
∴2x•sin（60°-∠OPQ）=x•sin∠OPQ，①，
由于x=PQ＞0，
将①整理可得，

3

cos∠OPQ-sin∠OPQ=sin∠OPQ，即2sin∠OPQ=

3

cos∠OPQ，
∴tan∠OPQ=

3

2

．
故选D．

点评：本题主要考查了利用正弦定理解决实际问题，求解实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行求解，属于难题．