题目内容

已知函数f（x）=lnx+ $数学公式$ +x（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若以函数y=f（x）-x（0＜x≤3）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤ $数学公式$ 恒成立，求实数a的最小值．

（1）f（x）=lnx+ $\text{[math]}$ +x（x＞0），f′（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$
方程x²+x-a=0的判别式△=1+4a，
当a≤- $\text{[math]}$ 时，△≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当- $\text{[math]}$ ＜a≤0时，△＞0，方程x²+x-a=0有两个根均小于等于零；
∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
当a＞0时，，△＞0，方程x²+x-a=0有一个正根 $\text{[math]}$ ，f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）单调递增
综上当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）单调递增
（2）y′= $\text{[math]}$ （0＜x≤3），k=y′ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （0＜x₀≤3）恒成立?a≥ $\text{[math]}$ ，
当x₀=1时， $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$
∴a≥ $\text{[math]}$ ，
∴a_min= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）f′（x）= $\text{[math]}$ ，方程x²+x-a=0的判别式△=1+4a，对△分△≤0与△＞0两类讨论即可求得函数f（x）的单调区间；
（2）k=y′ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （0＜x₀≤3）恒成立?a≥ $\text{[math]}$ ，由二次函数的性质可得当x₀=1时， $\text{[math]}$ 取得最大值，问题得到解决．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与化归思想的综合运用，属于难题．