题目内容
已知函数f(x)=
x2+lnx.(Ⅰ)求函数f(x)在区间［1,e］上的最大值和最小值；
(Ⅱ)求证：在区间(1，+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=
x3的图象的下方；
(Ⅲ)设h(x)=f′(x)，证明：［h(x)］n-h(xn)≥2n-2.
解析：(Ⅰ)f′(x)=x+，当x∈［1,e］时，f′(x)＞0,
∴f(x)在［1,e］上为连续的单调递增函数.
∴fmin(x)=f(1)=,fmax(x)=f(e)=
e2+1.
(Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)=
x2+lnx-
x2,
又F′(x)=x+
-2x2=
=
=
当x∈(1,+∞)时，1-x＜0,x＞0,2x2+x+1＞0成立，
∴F′(x)＜0，即在［1,+∞］上连续的函数F(x)单调递减，
∴x∈(1,+∞)时，F(x)＜F(1)=
-
=-
＜0,
即F(x)＜0,∴f(x)＜g(x),
∴结论成立.
(Ⅲ)由已知h(x)=f′(x)=x+
,
∴［h(x)］n-h(xn)=(x+
)n-xn-
=
xn-1
+
xn-2
+…+
x2
+
x
=
xn-2+
xn-4+…+
+
=
［
(xn-2+
)+
(xn-4+
)+…+
(
+xn-4)+
(
+xn-2)］
又∵x＞0,
∴上式≥
(2
+2
+…+2
+2
)
=
+
+…+
=2n-2.
∴结论成立.
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