Question

（2013•唐山一模）选修4-4：坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．己知曲线C₁的极坐标方程为p=4cosθ曲线C₂的参数方程是

x=m+tcosa y=tsina

（t为参数，0≤a＜π），射线θ=?，θ=?+

π

4

，θ=?-

π

4

与曲线C₁交于极点O外的三点A，B，C．
（I ）求证：|OB|+|OC|=

2

|OA|；
（II ）当?=

π

12

时，B，C两点在曲线C₂上，求m与a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+

π

4

），|OC|=4cos（φ-

π

4

），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4

2

cosφ，=

2

|OA|，命题得证．
（Ⅱ）当φ=

π

12

时，B，C两点的极坐标分别为（2，

π

3

），（2

3

，-

π

6

）．再把它们化为直角坐标，根据C₂是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=-

3

（x-2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+

π

4

），|OC|=4cos（φ-

π

4

），…（2分）
则|OB|+|OC|=4cos（φ+

π

4

）+4cos（φ-

π

4

）=2

2

（cosφ-sinφ）+2

2

（cosφ+sinφ）=4

2

cosφ，
=

2

|OA|．…（5分）
（Ⅱ）当φ=

π

12

时，B，C两点的极坐标分别为（2，

π

3

），（2

3

，-

π

6

）．
化为直角坐标为B（1，

3

），C（3，-

3

）．…（7分）
C₂是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，
又经过点B，C的直线方程为y=-

3

（x-2），故直线的斜率为-

3

，…（9分）
所以m=2，α=

2π

3

．…（10分）

点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．