Question

已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10．
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（II）记b_n=a_n•(

1

2

)n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10，知

a1+d=0 a1+5d+a1+7d=-10

，由此能求出a_n．
（II）由a_n=2-n，知b_n=a_n•(

1

2

)n-1=（2-n）•（

1

2

）^n-1，故{b_n}的前n项和S_n=（2-1）•（

1

2

）⁰+（2-2）•（

1

2

）¹+（2-3）•（

1

2

）²+（2-4）•（

1

2

）³+…+（2-n）•（

1

2

）ⁿ，由此利用错位相减法能求出S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10，
∴

a1+d=0 a1+5d+a1+7d=-10

，
解得a₁=1，d=-1．
∴a_n=1+（n-1）×（-1）=2-n．
（II）∵a_n=2-n，
∴b_n=a_n•(

1

2

)n-1=（2-n）•（

1

2

）^n-1，
∴{b_n}的前n项和S_n=（2-1）•（

1

2

）⁰+（2-2）•（

1

2

）¹+（2-3）•（

1

2

）²+（2-4）•（

1

2

）³+…+（2-n）•（

1

2

）^n-1，①

1

2

Sn=（2-1）•（

1

2

）+（2-2）•（

1

2

）²+（2-3）•（

1

2

）³+（2-4）•（

1

2

）⁴+…+（2-n）•（

1

2

）ⁿ，②
①-②，得

1

2

Sn=1-[

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ]-（2-n）•（

1

2

）ⁿ
=1-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-（2-n）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=（

1

2

）ⁿ-（2-n）•（

1

2

）ⁿ⁺¹=

n

2n-1

；
∴S_n=

n

2n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．