Question

已知圆C的圆心C为（-3，4），且与x轴相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若关于直线y=k（x-1）对称的两点M，N均在圆C上，且直线MN与圆x²+y²=2相切，试求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）根据圆C与x轴相切，得到它的半径r=4，由此即可写出圆C的标准方程；
（2）由圆的性质得到直线y=k（x-1）经过圆心C，将C的坐标代入解出k=-1，进而算出MN的斜率k'=

-1

k

=1．设直线MN的方程为y=x+b，根据MN与圆x²+y²=2相切利用点到直线的距离公式，建立关于b的等式，解出b=±2再加以检验，即可得到所求直线MN的方程．

解答：解：（1）∵圆C的圆心C为（-3，4），且与x轴相切．
∴圆C的半径r=4，可得圆C的标准方程为（x+3）²+（y-4）²=16．
（2）∵关于直线y=k（x-1）对称的两点M，N均在圆C上，
∴直线y=k（x-1）经过圆心C（-3，4），
可得4=k（-3-1），解得k=-1．
由此可得直线MN的斜率k'=

-1

k

=1，设直线MN的方程为y=x+b，即x-y+b=0．
∵直线MN与圆x²+y²=2相切，
∴圆x²+y²=2的圆心O到直线MN的距离等于半径，
即d=

|0-0+b|

2

=

|b|

2

=

2

，解之得b=±2，
经检验，当b=-2时直线MN的方程为y=x-2，与圆C没有公共点，不符合题意．
∴b=-2舍去，即b=2，直线MN的方程为y=x+2．

点评：本题给出圆C满足的条件，求圆C的方程并依此求直线MN的方程．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．