Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）讨论极值点的个数；

（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时,无极值点；当时,有1个极值点；

当或,有2个极值点.

（Ⅱ）见解析

【解析】

(Ⅰ)求导可得,再分与两种情况进行讨论即可.

(Ⅱ)由(Ⅰ)以及可得,再求得关于的解析式,再令,构造函数,再求导分析的单调性与最值证明即可.

解：（Ⅰ）由题得,的定义域为,

ⅰ.若,则,所以当时,单调递减,

当时,单调递增.

所以,是唯一的极小值点,无极大值,故此时有且仅有1个极值点.

ⅱ. ,令

①当时,,则当时,单调递增,

当,单调递减.

所以,分别是极大值点和极小值点,故此时有两个极值点.

②当时,是的不变号零点,且

故此时在上单调递增,无极值点.

③当时,,则时,单调递增,

当时,单调递减.

所以,分别是极小值点和极大值点,此时有2个极值点.

综上,当时,无极值点；当时,有1个极值点；

当或,有2个极值点.

（Ⅱ）证明：若是的一个极值点,

由（Ⅰ）知,或,且,

,

令,则,所以

故

所以,当时,单调递增；当时,单调递减,

所以是唯一极大值点也是最大值点,即 .

从而,即.（证毕）