Question

已知函数f(x)=x (

1

2x-1

+a)为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[1，3]时，2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义f（-x）=f（x）对定义域内的任意x恒成立，列出恒等式，即可确定a的值；
（2）将f（x）的解析式代入不等式，利用参变量分离的方法，转化成求函数的最值，再利用函数的单调性，求出最值，即可求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=x (

1

2x-1

+a)为偶函数，
由偶函数的定义可知，f（-x）=f（x）恒成立，
∴x（

1

2x-1

+a）=-x（

1

2-x-1

+a），
∴2a=-（

1

2x-1

+

1

2-x-1

）=1，
解得，a=

1

2

，
经检验，a=

1

2

符合题意，
∴实数a的值为

1

2

．
（2）由（1）可知，f（x）=x(

1

2x-1

+

1

2

)，
由题意，当x∈[1，3]时，2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0恒成立，
∴2x(

1

2x-1

+

1

2

)-(

1

2

)m•x＜0对x∈[1，3]恒成立，
∴(

1

2

)m＞2(

1

2x-1

+

1

2

)对x∈[1，3]恒成立，即（2(

1

2x-1

+

1

2

)）_max＜(

1

2

)m，
∵y=2(

1

2x-1

+

1

2

)在[1，3]上是减函数，
∴当x=1时，y=2(

1

2x-1

+

1

2

)取最大值为3，
∴(

1

2

)m＞3，解得m＜log

1

2

3，
∴m的取值范围是m＜log

1

2

3．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性的应用，以及恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理．本题属于函数知识的综合应用．属于基础题．