Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞c＞0，a²=b²+c²）的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c）．
（1）证明：椭圆上的点到点F₂的最短距离为a-c；
（2）求椭圆的离心率e的取值范围；
（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长s的最大值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x₀，y₀），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x₀的范围，进而求得椭圆上的点到点F₂的最短距离
（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF₂|取得最小值时|PT|取得最小值，根据

(a-c)2-(b-c) 2

≥

3

2

（a-c）求得e的范围．
（3）设直线的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，代入直线方程求得y₁y₂，根据OA⊥OB，可知

0A

•

OB

=0，∴k=a，直线的方程为ax-y-a=0根据圆心F₂（c，0）到直线l的距离，进而求得答案．

解答：解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x₀，y₀），
Q点到右准线的距离为d=

a2

c

-x₀，
则由椭圆的第二定义知：

|QF2|

d

=

c

a

，
∴|QF₂|=a-

c

a

x0，又-a≤x₀≤a，
∴当x₀=a时，
∴|QF₂|_min=a-c．

（2）依题意设切线长|PT|=

|PF 2|2-(b-c) 2

∴当且仅当|PF₂|取得最小值时|PT|取得最小值，
∴

(a-c)2-(b-c) 2

≥

3

2

（a-c），
∴0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，从而解得

3

5

≤e＜

2

2

，
故离心率e的取值范围是解得

3

5

≤e＜

2

2

，

（3）依题意Q点的坐标为（1，0），
则直线的方程为y=k（x-1），
与抛物线方程联立方程组消去y得（a²k²+1）^_x2-2a²k2x+a²k²-a2=0
得，
设A（x₁，y₁）（x₂，y₂），则有x₁+x₂=

2a2k2

a 2k2+1

，x₁x₂=

a2k2-a2

a 2k2+1

，
代入直线方程得y₁y₂=

k2(1-a2)

a 2k2+1

，
x₁x₂=+y₁y₂=

k2-a2

a 2k2+1

，又OA⊥OB，
∴

0A

•

OB

=0，
∴k=a，
直线的方程为ax-y-a=0，
圆心F₂（c，0）到直线l的距离d=

a2+1 |ac-a| a2+1

，
∴

3

5

≤e＜

2

2

•，∴

3

4

≤c＜1，

5

2

2c+1＜3，
∴s∈（0，

2 41

41

），所以弦长s的最大值为

2 41

41

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．