Question

已知数列{a_n}满足：a₁=0，an=

2a n 2 +1 n为偶数 n+1 2 +2a n-1 2 n为奇数

，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）求a₅，a₆，a₇的值；
（Ⅱ）设bn=

a2n-1

2n

，试求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论a_n与a_n+1的大小关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知a₁=0，a₂=1+2a₁=1，a₃=2+2a₁=2，a₄=1+2a₂=3，由此可知a₅=3+2a₂=5；a₆=1+2a₃=5；a₇=4+2a₃=8．
（Ⅱ）由题设条件知bn+1=

a2n+1-1

2n+1

=

2n+2a2n-1

2n+1

=

1

2

+bn，由此可知bn=

n-1

2

．
（Ⅲ）对于任意的正整数k，当n=2k或n=1，3时，a_n＜a_n+1；当n=4k+1时，a_n=a_n+1；当n=4k+3时，a_n＞a_n+1．再由题设条件进行证明．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=0，a₂=1+2a₁=1，a₃=2+2a₁=2，a₄=1+2a₂=3，
∴a₅=3+2a₂=5；a₆=1+2a₃=5；a₇=4+2a₃=8．（3分）
（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n，都有：bn+1=

a2n+1-1

2n+1

=

2n+2a2n-1

2n+1

=

1

2

+bn，
∴bn+1-bn=

1

2

．∴数列{b_n}是以b1=

a21-1

21

=0为首项，

1

2

为公差的等差数列．
∴bn=

n-1

2

．（7分）
（Ⅲ）对于任意的正整数k，
当n=2k或n=1，3时，a_n＜a_n+1；
当n=4k+1时，a_n=a_n+1；
当n=4k+3时，a_n＞a_n+1．（8分）
证明如下：
首先，由a₁=0，a₂=1，a₃=2，a₄=3可知n=1，3时，a_n＜a_n+1；
其次，对于任意的正整数k，n=2k时，a_n-a_n+1=a_2k-a_2k+1=（1+2a_k）-（k+1+2a_k）=-k＜0；（9分）n=4k+1时，
a_n-a_n+1=a_4k+1-a_4k+2
=（2k+1+2a_2k）-（1+2a_2k+1）
=2k+2a_2k-2a_2k+1
=2k+2（1+2a_k）-2（k+1+2a_k）
=0
所以，a_n=a_n+1．（10分）n=4k+3时，a_n-a_n+1=a_4k+3-a_4k+4
=（2k+2+2a_2k+1）-（1+2a_2k+2）
=2k+1+2a_2k+1-2a_2k+2
=2k+1+2（k+1+2a_k）-2（1+2a_k+1）
=4（k+a_k-a_k+1）+1
事实上，我们可以证明：对于任意正整数k，k+a_k≥a_k+1（*）（证明见后），所以，此时，a_n＞a_n+1．
综上可知：结论得证．（12分）
对于任意正整数k，k+a_k≥a_k+1（*）的证明如下：
1）当k=2m（m∈N^*）时，k+a_k-a_k+1=2m+a_2m-a_2m+1=2m+（1+2a_m）-（m+1+2a_m）=m＞0，
满足（*）式．
2）当k=1时，1+a₁=1=a₂，满足（*）式．
3）当k=2m+1（m∈N^*）时，
k+a_k-a_k+1=2m+1+a_2m+1-a_2m+2
=2m+1+（m+1+2a_m）-（1+2a_m+1）
=3m+1+2a_m-2a_m+1
=2（m+a_m-a_m+1）+（m+1）
于是，只须证明m+a_m-a_m+1≥0，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（*）得证．（14分）

点评：本题考查数知识的综合运用，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．